یکی از ویژگی های مهم و در عین حال پیچیده فرکتال ها این است که بعد کسری یا اعشاری دارند. همان طور که می دانیم نقطه بعد ندارد و خط یک بعد و صفحه دو بعد و حجم ها سه بعددارند. اما در هندسه فرکتال ها صحبت از شکل هایی می شود که بعدهای کسری دارند. به عنوان مثال در شکل (۲-۸) یک فرکتال معروف به نام مثلث سرپینسکی نمایش داده می شود.
شکل ۲-۸ : مثلث های سرپینسکی
اگر با ضریب دو بزرگ نمایی شود، به شکل (۲-۸©) تبدبل می شود. می توان شکل را با درجه ای از با تعداد مثلث پوشش داد که اندازه هر ضلع هر کدام است. در اینجا بعد فرکتالی است که از بعد اقلیدسی کوچکتر است.]۱۶-۱۹-۲۰[
۲-۶-۲-۲ فرکتال ناهمسانگرد
اشیاء فرکتالی که باید با بهره گرفتن از تبدیل ناهمسانگرد مقیاس بندی شوند، خود ترکیب نامیده می شوند. مفهوم مقیاس ناهمسانگرد در شکل (۲-۹) نشان داده شده است.
رابطه مقیاسی برای یک تابع خود ترکیب می تواند به شکل زیر فرمول بندی شود:

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

(۲-۱۲)

فاصله ای بین است و در اینجا نمای خود ترکیبی نامیده می شودواندازه گیری عددی روی تابع را می دهد.
در واقع تابع خود ترکیب باید هم افقی و هم عمودی مقیاس بندی شود. اگر تابع با ضریب در راستای افقی () بزرگ شود، باید با ضریب در راستای عمودی () کوچک شود. به این منظور که اشیاء نهایی روی هم قرار بگیرند و حالت اصلی به دست آید. برای حالت خاص تبدیل همسانگرد است و سیستم خود متشابه خواهد بود].۱۶-۱۹-۲۰[

شکل ۲-۹ : تغییر مقیاس همسانگرد و ناهمسانگرد برای یک فرکتال ساده . a) تغییر همسانگرد b) تغییر ناهمسانگرد
۲- ۷ معادله ضمنی رشد
به منظور مطالعه تحلیلی مدل های رشد، یکی از روش های مورد توجه برقراری ارتباط بین معادله رشد ضمنی و فرایند رشد داده شده می باشد. برای رسیدن به این هدف در ابتدا به تعریف معادله ضمنی رشد می پردازیم.هدف یافتن تغییر ارتفاع همراه با زمان در موقعیت است.
به این منظور تابعی را به صورت در نظر می گیریم که همراه با زمان و مکان در حال تغییر می باشد. فرایند رشد را به وسیله یک معادله تکرار می توان توصیف کرد:

(۲-۱۳)

جریان ذرات یکنواخت نیست، چون ذرات در مکان های تصادفی می نشینند. نشانگر تعداد ذراتی است که در واحد زمان به سطح می رسند. (در موقعیت و زمان)
تابع مرکب از دو جزء است؛ جزءF و جزء. به این ترتیب معادله رشد به صورت زیر در خواهد آمد:

(۲-۱۴)

نشانگر میانگین تعداد ذراتی است که در موقعیت x می نشینند و نشان دهنده ی تغییر تصادفی در فرایند لایه نشانی است و یک عدد تصادفی مستقل با میانگین صفر است:

(۲-۱۵)

(۲-۱۶)

نوفه هیچ وابستگی به زمان و فضا ندارد و مقدار میانگین آن صفر است به استثنای یک مورد خاص در آن و است که صفر نمی شود. مقصود از نوفه همان نویز یا آشفتگی موجود است .]۱۶[
۲- ۸ اصول تشابه