جواب‌هایی را جستجو می‌کنیم که برای آن‌ها و از عبارت‌های دیگر صرف نظر می‌کنیم [۱۵].

( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

معادله‌ی موج (۲-۲۵) در حالتی که T_µν=۰، یعنی در خلأ به شکل آشنای زیر در می‌آید:
(۲-۲۹)
T⁰⁰∕c² ═ρ «بار-جرم» است و جرم کل سیستم به صورت زیر می‌باشد:
می‌توان جواب‌های مربوط را به صورت زیر نوشت:
(۲-۳۰)
(۲-۳۱)
که در آن Φ پتانسیل «گرانش الکتریکی» یا نیوتنی:
(۲-۳۲)
و A پتانسیل برداری گرانشی مغناطیسی بر حسب تکانه ی زاویه‌ای کل سیستم، s، می‌باشد[۳۶]:
(۲-۳۳)
و _ijkε تانسور پادمتقارن کامل لویی چیویتا در سه بعد است. در حالی که jⁱ═Tⁱ⁰∕c نشان دهنده چگالی جرم- جریان^[۱۶] است.
پیمانه لورنتز بر حسب پتانسیل‌های Φ و A ، به شکل زیر در می‌آید:
(۲-۳۴)
که جدا از عامل (۱/۲)، همان شرط لورنتز الکترومغناطیسی است[۱۳،۱۸]. اکنون میدان‌های گرانش الکتریکی و
گرانشی مغناطیسی به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
(۲-۳۵)
با بهره گرفتن از تعاریف اخیر و نیز تعریف چگالی جرم (T⁰⁰ ═ c² ρ) و چگالی جریان (jⁱ c ═Tⁱ⁰)، معادلات ماکسول را برای گرانش الکترومغناطیسی بدست می‌آوریم:
(۲-۳۶)
معادلات میدان اینشتین در این فرم، مطابق با حل‌هایی هستند که میدان را در اطراف جسم چرخان و بر حسب پتانسیل‌های گرانش مغناطیسی و گرانش الکتریکی توصیف می‌کنند؛ بنا بر تعاریف (۱-۳۰) و (۱-۳۱) تانسور متریک برای فضای اطراف جسم چرخان به صورت زیر است [۱۵] :
(۲-۳۷)
در حد نیوتونی، Φ به پتانسیل گرانشی نیوتن کاهش می‌یابد، در حالی که می‌باشد.
شرط پیمانه عرضی^[۱۷] نیز به فرم زیر کاهش می‌یابد:
(۱-۳۸)
میدان‌های گرانش الکترومغناطیسی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
(۲-۳۹)
که مشابه با الکترومغناطیس است و:
(۱-۴۰)
بعلاوه بعد از اعمال شرط پیمانه‌ی (فصل دوم) می‌توان نشان داد که:
(۲-۴۱)
همان طور که همین انتظار هم می‌رفت معادلات میدان شامل معادله پیوستگی، ، نیز می‌باشد.
میدان گرانشی را می‌توان از طریق مقایسه با الکترومغناطیس درک نمود؛ برای مثال میدان گرانش مغناطیسی یک جسم چرخان (در گرانش ضعیف) را می‌توان به صورت یک میدان دو قطبی نوشت:
(۲-۴۲)
که در آن S، تکانه ی زاویه‌ای است؛ با بهره گرفتن از فرمول بندی حاضر، می‌توان نشان داد که معادله ژئودزیک ذره در یک میدان جسم چرخان با گرانش ضعیف همانند معادله حرکت تحت نیروی لورنتز است؛ در واقع با توجه به معادله ژئودزیک :
(۲-۴۳)
برای یک ذره‌ی غیر نسبیتی ( )، سرعت به صورت است؛ با صرف نظر کردن از عبارت‌هایی به شکل و در حالت پایا^[۱۸]، ( ) می‌توان نشان داد که معادله ژئودزیک به صورت زیر است [۲۷،۲۹] :
(۲-۴۴)
مناسب است که شکل متریک (۲-۳۷) را در مختصات کروی نیز داشته باشیم؛ برای این منظور فرض می‌کنیم که توزیع منبع در اطراف مرکز مختصات فضایی محدود شده باشد آنگاه در حالت چرخش غیر نسبیتی (کند چرخان)
منبع و فاصله دور از آن می‌توان نشان داد که پتانسیل‌های برداری. اسکار به صورت زیر است [۳,۴] :
(۲-۴۵)
که در آن و M و Jجرم و اندازه حرکت زاویه‌ی هستند و از این رو متریک (۱-۳۷) در مختصات کروی
به صورت زیر در خواهد آمد:
(۲-۴۶)
۲-۳ قضیه لارمور در گرانش
برای گسترش گرانش الکترومغناطیسی به گونه‌ای که نزدیک‌ترین ارتباط را با فرمول‌بندی استاندارد الکترودینامیک داشته باشد، تعریفی را می‌پذیریم که بیان واضحی را از قضیه لارمور گرانشی ارائه دهد. فرض می‌کنیم ذره آزمون با جرم سکون m، دارای بار گرانش الکتریکی^[۱۹] q_E= -m و بار گرانش مغناطیسی q_B = -۲m باشد.
برای منبعی که چرخان است و دارای جرم M می‌باشد بارهای نظیر آن‌ها مثبتند به ترتیب q_e = M و q_B =۲M می‌باشد که برای حفظ خصلت جاذبه‌ای گرانشی این امر ضروری است. نسبت بار گرانش مغناطیسی به بار گرانش الکتریکی همواره ۲ است، زیرا گرانش خطی سازی شده‌ی میدانی با اسپین ۲ می‌باشد [۱۲]. برای میدان با اسپین ۱ مانند نظریه‌ی ماکسول این نسبت برابر واحد است.
قضیه لارمور در ابتدا معادلی موضعی^[۲۰] بین مغناطیس و چرخش برقرار ساخت [۱۱]. در واقع نیروی الکترومغناطیسی روی یک ذره آزمون با جرم m و بار q، در تقریب خطی مشابه با نیروی وارد بر ذره آزاد