که i=1,2,…,n-k است.
(۲-۱۲۷)
مرحله پنجم، تئوریBuckingham: می توان رابطه بین کمیت وابسته و کمیت های مستقل را به شکل زیر نوشت:
Π_۰=f(Q₁,Q₂,…, Q_k ; Π_۱, Π_۲,…, Π_n-k)(2-128)
که همه کمیت ها به جز Q₁, Q₂,…,Q_kبی بعد هستند. مقادیر کمیت های بی بعد مستقل از اندازه واحدهای پایه ای است. چون که معادله بالا باید از نظر ابعادی صحیح باشد، لذا Q₁, Q₂,…,Q_k باید از طرف دوم حذف شوند. لذا داریم:
Π_۰=f(Π_۱, Π_۲,…, Π_n-k)(2-129)
این معادله نتیجه نهایی تحلیل ابعادی است و مبین رابطه کاملی بین کمیت های فیزیکی در شکل بی بعد می باشد. همان گونه که مشاهده شد، تعداد کمیت های مستقل که در آن ظاهر می شود، از n به n-k کاهش می یابد. که k تعداد ماکزیمم کمیت های اصلیn است که از لحاظ ابعادی مستقل هستند. به این ترتیب با کاهش تعداد کمیت های اصلی مورد بحث در مساله می توان آن را به شکل خیلی ساده تری ارائه نمود.
Kachru (1976) and Matthessسنتیک فرایند خشک شدن مخزنی دانه برنج را با کمک تکنیک تحلیل ابعادی به دست آوردند. آنها ۸ پارامتر که در این فرایند موثر بودند را معرفی کردند: رطوبت نسبی هوای خشک کننده(φ)، نسبت خشک شدن محصول، ارتفاع کل دانه ها در مخزن (D)، ارتفاع لایه دانه از کف مخزن(λ)، زمان سپری شده (Φ)، دمای مطلق اولیه دانه (k_si) و دمای مطلق هوای خشک کننده در ورودی(k_a). از آنجایی که ۳ بُعد پایه ای در تحقیق وجود داشت (دما، طول و زمان)، تعداد گروه های بی بعد ۵ گروه به شرح زیر بودند:
(نسبت خشک شدن) (نسبت ارتفاع)، π_۳=φ (رطوبت نسبی هوای ورودی)،
π_۴=VΦ/D (نسبت سرعت) و (نسبت دما)
V: سرعت هوای خشک کننده است.
که π_۱ متغیر بی بُعد وابسته بوده و ۴ تای دیگر متغیرهای بی بُعد مستقل هستند. آنها سپس تغییرات متغیر وابسته را نسبت به هر کدام از گروه های بی بُعد، بررسی کردند. جهت انجام این کار، در هر مرحله، فقط تغییرات یکی از متغیرهای بی بُعد مستقل را بر روی متغیر بی بُعد وابسته بدست آوردند که الزاماً سایر متغیرها بایستی در این حالت ثابت باشند. پس از بدست آوردن اثر جداگانه هر کدام از متغیرهای بی بُعد مستقل بر روی متغیر بی بُعد وابسته، با کمک رابطه Murphy رابطه تجمعی بین آنها را بدست آورده شد. رابطه
Murphy (1950) به شکل زیر است:
(۲-۱۳۰)
که در این رابطه: x : تعداد متغیرهای بی بعد، : مقدار ثابت متغیر بی بعدx ام و _xπ : متغیر بی بعد x ام در حالتی که ثابت نیست.
Zare et al, (2012)، یک مدل بی بُعد برای خشک کردن لایه ضخیم دانه های برنج از اطلاعات بدست آمده از معادلات مشتقات جزئی خشک شدن برنج بر اساس تحلیل ابعادی تئوریBuckingham بدست آوردند. آنها در این معادله بی بُعد همه پارامترهای خشک شدن برای پیش بینی محتوای رطوبت دانه برنج را در طول فرایند خشک شدن مورد ملاحظه قرار دادند. آنها معادلات تعادل حرارتی و جرمی دانه و هوا را بر اساس مدل Sharp نوشتند. همچنین برای حل مجموعه معادلات مشتقات جزئی (تعادل حرارتی هوا، تعادل حرارتی دانه و تعادل جرمی دانه) از معادله لایه نازک خشک شدن دانه های برنج استفاده شد. ۱۲ پارامتر موثر درفرایند خشک شدن مزبور معرفی شد که عبارتند از: محتوای رطوبت دانه (M)، نرخ جریان جرمی هوا(G)، دانسیته توده دانه (ρ_p)، زمان خشک شدن (t)، دمای اولیه دانه (θ_in)، دمای هوای ورودی (T_in)، رطوبت مطلق هوای خشک کننده ورودی(H_i)، رطوبت اولیه دانه(M_in)، رطوبت تعادلی دانه (M_eq)، عمق بستر(x)، سطح مخصوص دانه(a_s) و شعاع معادل دانه (r₀). که ۴ بُعد پایه [جرم(M)، طول(L)، زمان(t)، دما (T)] در این تحقیق وجود داشت. در نتیجه (۸=۴-۱۲) پارامتر بی بُعد معرفی شد:

F(π_۱, π_۲,…, π_۸)=۰(۲-۱۳۱)
که درنهایت به رابطه زیر دست یافتند:
(۲-۱۳۲)
نتایج تحقیق آنها نشان داد که مدل بی بُعد بدست آمده می تواند محتوای رطوبت دانه برنج را با دقت خوبی (ضریب تعیین^[۱۲۱] برابر ۸۶۶/۰ و میانگین مربعات خطا^[۱۲۲] برابر۰۱۴۶۸/۰) پیش بینی کند و به دلیل سادگی مدل بی بُعد بدست آمده و این که همه پارامترهای خشک شدن را در یک معادله ارائه می دهد، استفاده از آن برای پیش بینی محتوای رطوبت دانه برنج، بسیار آسان است (Zare et al, 2012).
در تحقیقی دیگر که توسط Pavon et al, 2002 انجام گرفت تحلیل بی بُعد برای معادلات انتقال حرارت و جرم صورت پذیرفت. گروه های بی بُعد برای تخمین مکانیزم هایی که فرایند انتقال جرم و انتقال حرارت را کنترل می کنند، مورد استفاده قرار گرفت. در تحقیق مزبور، مکانیزم های انتقال جرم و حرارت با بهره گرفتن از تحلیل ابعادی بازنویسی شدند. به جای معادلات مرسوم انتقال جرم و انتقال حرارت، معادلات بی بُعد مکانیزم های انتقال نوشته شدند. معادلات بی بُعد بدست آمده عبارتند از:
(۲-۱۳۳)
(۲-۱۳۴)
(۲-۱۳۵)
(۲-۱۳۶)
که معادله ۲-۱۳۳ مبین انتقال حرارت به روش رسانایی به داخل ماده خشک شونده بوده، معادله۲- ۱۳۴ نشان دهنده انتشار جرم از داخل ماده خشک شونده به هوای خشک کننده می باشد. همچنین معادله ۲-۱۳۵ نشان دهنده انتقال حرارت به درون ماده خشک شونده از طریق همرفتی و تابشی بوده ضمن این که معادله ۲-۱۳۶مبین انتشار جرم به روش همرفتی از ماده خشک شونده است.
در این معادلات متغیرهای بی بُعد عبارتند از:
, , , , , , , , ,
D_eff: ضریب انتشار رطوبت ماده خشک شونده (cm²/s).
k_eq: ضریب ثابت حائل بین رطوبت های هوا و ماده (گرم ماده خشک بر گرم هوای خشک).
L: طول مشخصه برای مسیری که انتشار در آن اتفاق می افتد (cm).
n_βγ: بردار واحد نرمال از فاز ماده به فاز هوا
X: محتوای رطوبت ماده (d.b)
t: زمان (s). Bi, Bi_m: به ترتیب عدد بایوت حرارتی و جرمی.
α: ضریب انتشار حرارتی ماده غذایی (cm²/s).
H_sΔ: گرمای دفع شده در اثر تبخیر آب (ژول بر کیلوگرم آب تبخیر شده).
φ_۱, φ_۲, τ, ψ_۱ , ψ_۲, Π, π, η_۱, η_۲ : گروه های بی بُعد
Q: حرارت منتقل شده به روش تابشی(W/cm²)
ρ_β: غلظت جامد ماده غذایی (گرم ماده خشک جامد بر سانتی متر مکعب)
ρ_۰: دانسیته هوای خشک (گرم بر سانتی متر مکعب)
اندیس ها : ۰: مقدار کمیت در شروع خشک شدن، β: ماده خشک شونده ، γ: هوای خشک کننده.
که این معادلات به دلیل این که به صورت بی بُعد ارائه شده اند، در سیستم های مختصات مختلف و شرایط مرزی متحرک ثابت خواهند بود. علاوه بر این جهت بدست آوردن معادلات آسان تر، برخی از محققین فرضیات ساده سازی نیز انجام داده اند:
دمای محصول ثابت بوده و لذا انتقال حرارت انجام نمی گیرد (در حالت پایدار حرارتی، معادلات را حل کرده اند).
انتشار رطوبت و دانسیته محصول در طول فرایند ثابت می باشد. در نتیجه φ_۲ و η_۲ برابر یک خواهند بود.
مقاومت مرز بین هوا و ماده خشک شونده ناچیز می باشد و لذا Bi_m>>k_eq(X_β۰-X_βe).
چروکیدگی در حین خشک شدن وجود ندارد.
فصل سوم
مواد و روش ها
دراین تحقیق یک دستگاه خشک کن پیوسته جریان مخالف ساخته شد که در آن جریان هوای خشک کننده به صورت جابجایی اجباری توسط یک فن مکنده بر قرار می گردد. خشک کن نیمه صنعتی آزمایشگاهی ساخته شده در این طرح دارای یک مخزن استوانه ای بوده که در قسمت بالا دو محل ورودی جهت ورود دانه های ذرت و ساچمه ها تعبیه شده است (شکل ۳-۱). همچنین قسمت ورود هوای گرم خشک کننده در نیمه پایینی مخزن قرار داده شده است. البته هوای محیط با عبور از یک گرم کن الکتریکی ۶ کیلوواتی توسط فن دمنده الکتریکی به داخل مخزن که در آن دانه های ذرت در جریان (به سمت پایین) هستند، دمیده می شود. همه این قسمت ها در ادامه به تفصیل توضیح داده می شوند. نحوه انجام آزمایش ها به این صورت بود که ابتدا ذرت با رطوبت اولیه تقریب ۳۰ درصد(برمبنای تر) از ورودی دانه با نرخ مشخص تغذیه می شد. همچنین ذرات بی اثر نیز با نرخ از پیش تعیین شده ای از قسمت ورودی مخصوص ذرات بی اثر به داخل مخزن تغذیه می شدند. سرعت حرکت مواد در داخل مخزن توسط نقاله خروجی که در پایین مخزن قرار داشت، کنترل می شد. سرعت موتور DC استفاده شده برای خروج مواد به وسیله اینورتور نصب شده در داخل تابلو برق کنترل می شد. البته قابل ذکر است که اینورتور قبل از استفاده با زمان گیری دستی کالیبره شد. آزمایش ها درچهار سطح نسبت دبی ورودی ذرات بی اثر به دبی دانه های ورودی، سه سطح دمای هوای خشک کن، سه سطح سرعت حرکت مواد در داخل مخزن، سه سرعت مختلف هوای خشک کننده و در سه تکرار انجام گرفت. در حین انجام آزمایش ها، نمونه گیری توسط نمونه گیر ساخته شده در بخش مهندسی بیوسیستم دانشگاه شیراز، با فواصل زمانی مشخص انجام می گرفت. نمونه های دانه ذرت از ۶ قسمت مختلف مخزن خشک کن بدست می آمد. بعد از توزین با ترازوی دیجیتال A&D با دقت ۰۰۱/۰ گرم، در داخل آون الکتریکی قرار داده می شدند. بعد از ۱۶ ساعت، نمونه ها از داخل آون بیرون آورده شده و با توزین ثانویه، درصد رطوبت آنها بدست می آمد. دقیقا، در زیر محل های نمونه گیری برای دانه ذرت، محل هایی هم مخصوص تعبیه دماسنج در داخل مخزن قرار داده شده بود. به گونه ای که از لوله هایی که به داخل مخزن جوش داده شده بودند، استفاده شد. یک سر لوله ها بسته و سر دیگر برای تعبیه دماسنج در آنها باز بود. البته دیواره این لوله ها مشبک بود تا هوای خشک کن از داخل این لوله ها عبور نماید. به طور کلی ۶ محل برای اندازه گیری رطوبت نمونه و ۶ محل جهت اندازه گیری دمای هوای خشک کن استفاده گردید (شکل ۳-۲). همچنین برای کنترل دمای هوای خشک کننده از یک ترموستات دیجیتال استفاده گردید.
شکل۳-۱- تصویر شماتیک قسمت های مختلف دستگاه خشک کن پیوسته استفاده شده