توده توزیع با جمع تابع دلتای دیراک ، هر یک با وزن که در طول مستقر شده است، بیان می شود. جایگزینی معادله (۴-۲۱) در و بعد از دستکاری های ریاضی ، معادلات انتقال برای وزن ها و طول ها به صورت زیر داده شده است:

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

(۴-۲۳)
در رابطه بالا، طول وزن شده است و جملات و مربوط به نرخ تولد و مرگ جمعیت است که معادله خطی تشکیل می دهد که در آن مجهول ها با عکس کردن ماتریس ارزیابی می شود:
(۴-۲۴)
جمله چشمه امین گشتاور به صورت زیر تعریف می شود:
(۴-۲۵)
۴-۱-۳-۲) روش کلاس ( )
۴-۱-۳-۲-۱) مدل گروه اندازه چندگانه
مدل گروه اندازه چندگانه به عنوان یکی از مدلهای موازنه جمعیتی گسترده در نظر گرفته می شود چون پیاده سازی مطلوب آن در نرم افزار ممکن است و قابلیت منطقی آن برای مدیریت جریان چندفازی نیز ممکن است. در جریان چندفازی پراکنده، بدین معنا که فاز پراکنده تغییرات اندازه زیاد دارد. در مدل ، محدوده پیوسته اندازه حباب ها با گروه گسسته می شود؛ تغییر جمعیتی هر گروه به دلیل فرآیندهای پیوستگی و شکستگی حباب ها در همان گروه یا بین گروه ها در معادلات انتقال اسکالر موازنه شده است(یعنی عدد چگالی حباب ها). مکانیزم شکست و پیوستن حباب ها با جملات چشمه در معادلات انتقال بیان می شود.
(۴-۲۶)
بیانگر عدد ذره اندازه گروه است.
با تعریف کسر خالی اندازه گروه با ، کسر اندازه به صورت بیان می شود. سپس، توزیع اندازه ذره مدل به صورت زیر برآورد می شود:
(۴-۲۷)
ساده سازی بیشتر ، این فرض است که تمام گروه های اندازه همان چگالی ρ_g و سرعت u_g را فرض می کند که منجر به مدل همگن می شود
(۴-۲۸)
با در نظر گرفتن عملی بودن تفاوت های سرعت بین هر گروه اندازه، یک مدل هتروژن توسط کریپر و همکاران (۲۰۰۵) ارائه شده است که درآن هرگروه به تعداد زمینه سرعت تقسیم می شود. معادله برای مدل هتروژن ، براساس کسر خالی و کسر اندازه کلاس اندازه حباب ، از گروه سرعت ، به صورت زیر بیان می شود:
(۴-۲۹)
با ارتباطات اضافی و محدودیت ها
(۴-۳۰)
۴-۱-۳-۲-۲) روش ربع متوسط منفرد^[۷۳]
در کاربردهای صنعتی که در آن فقط اطلاعات تغییرات کلی در جمعیت حباب ها لازم است، روش گروه اندازه چندگانه می تواند به صورت روش ربع متوسط منفرد با بهره گرفتن از فقط یک گروه اندازه برای تغییرات جمعیت حباب ها توصیف شود، ساده شود. کوکاموستاگولاری و ایشی(۱۹۹۵) فرض می کند که غلظت بین سطحی () یک پارامتر مطلوب برای ارزیابی عملکرد انتقال حرارت و جرم است و اول معادله انتقال برای ردیابی ناحیه بین سطحی بین فاز گاز و مایع در مسائل جریان حبابی به دست می آید. بنابراین، غلظت ناحیه بین سطحی() ، برابر با معادله انتقال با فرض شکل کروی ایده ال بیان شده است(ایشی و همکاران ۲۰۰۲):
(۴-۳۱)
از سوی دیگر، یو و تو (۲۰۰۶) و چنگ و همکاران (۲۰۰۷) بیان کردند که عدد چگالی حباب باید یک پارامتر اولیه برای بیان تغییرات جمعیتی حباب به صورت معادله عدد چگالی متوسط حباب () باشد که معادل فرمولاسیون معادله انتقال بین سطحی است.
(۴-۳۲)
در رابطه بالا، بیانگر نرخ های چشمه ای متوسط حجمی محلی است که باید نزدیک روابط ساختاری باشد. جزئیات بیشتر جملات چشمه ای مدل در فصل ۵ ارائه شده است.
۴-۲) انتقال مومنتوم بین فازی
مدل دو سیالی که در آن هر فاز به صورت جداگانه براساس دو مجموعه از معادلات مصرف در نظر گرفته می شود، می تواند به عنوان یکی از صحیح ترین مدلهای عددی در تحقیق جریان های دو فازی (چنگ و همکاران ۲۰۰۹) در نظر گرفته شود. با این حال، اطلاعات انتقال مومنتوم بین سطحی بیانگر عملیات بین سطحی بین فازهای گاز و مایع است که برای نزدیکی این دو مجموعه از معادلات مصرف لازم است. انتقال مومنتوم بین سطحی برای مدلسازی جریان های گاز – مایع کلیدی است چون تاثیر مهمی روی قطر حباب ها و توزیع آنها در فاز مایع در جریان حبابی دارد. در کل، نیروی بین سطحی شامل نیروی دراگ ویسکوز و نیروی برآ، نیروی لیزاننده دیواره، نیروی جرم مجازی و نیروی پراکندگی آشفته است که همراه با هم نیروهای غیردراگ هستند. برای فاز مایع، کل نیروی بین سطحی از فاز مایع به فاز گاز به صورت زیر داده می شود:
(۴-۳۳)
۴-۲-۱) نیروی دراگ
در جریان حبابی ، نیروی دراگ ویسکوزیته، پارامتر اولیه است که حرکت نسبی بین دو فاز را کنترل می کند. در کل، نیروی دراگ بین سطحی ناشی از برش است و کشش ویسکوزیته جریان سیال را تشکیل می دهد. به صورت زیر نمایش داده می شود:
(۴-۳۴)
در رابطه بالا، ضریب کشش ، است. ضرایب کشش براساس روابط ایشی و زوبر(۱۹۷۹) برای رژیم های جریانی مختلف معمولا برای جریان های گاز – مایع اعمال می شود. تابع به نام ضریب کشش، می تواند برای حباب های منفرد در رژیم هایی با چندین عدد رینولدز متمایز (نسبت نیروهای گرانشی به نیروهای ویسکوز، ، استوکس، اختلال ذرات(ویسکوز)، نیوتون، رژیم جریان چرخشی مرتبط شود.
۴-۲-۲) نیروی برآ^[۷۴]
در جریان های حبابی عمودی، حباب های کوچک تمایل به مهاجرت به سمت دیواره لوله دارند، با این حال، حباب های بزرگ بیشتر احتمال دارد که به مرکز لوله حرکت کند. این پدیده جریانی تحت تاثیر نیروی برآ در نظر گرفته می شود که توسط گرادیان سرعت شعاعی ایجاد می شود . این چگالی نیروی بین سطحی می تواند متناسب با سرعت نسبی و کرل بردار سرعت باشد که به صورت عمودی در جهت حرکت نسبی بین فازها عمل می کند.
(۴-۳۵)
ضریب برآ در معادله بالا پیشنهادهای مختلفی با مقدار ثابت از تا دارد. با این حال، پدیده جریان عملی جهت مختلف مهاجرت بین حباب های بزرگ و حباب های کوچک برای بیان ضریب بلندکردن منعطف به جای مقدار ثابت لازم است. تومیاما(۱۹۹۸) یک رابطه ضریب برآ براساس عدد ایتوس ارائه کرد که برای مشخص کردن شکل حباب استفاده می شود . در این رابطه، ضریب منفی برای بیان مهاجرت در جهت مرکز جریان لوله است که در آن قطر حباب بزرگتر از ۵/۵ میلی متر برای سیستم هوا- آب است. ضریب بلند کردن به صورت زیر بیان می شود:
در رابطه بالا، عدد اصلاح شده ایتوس به صورت زیر تعریف می شود:
(۴-۳۷)
در رابطه بالا، بیشینه بعد شعاعی حباب است که می تواند با رابطه تجربی والک و همکاران(۱۹۶۶) ارزیابی شود:
(۳۸-۴)
در رابطه بالا، قطر متوسط حباب است.
۴-۲-۳) نیروی لیزاننده دیواره^[۷۵]
به دلیل تنش سطحی، به صورت تجربی مشاهده شده است که حباب ها در ناحیه ای نزدیک دیواره ولی نه خیلی نزدیک به دیواره متمرکز می شوند که سبب کسر حجم خالی در نزدیکی دیواره می شود. براساس تحقیقات آنتال و همکاران(۱۹۹۱) ، نیروی جانبی دیگر به نام نیروی لیزاننده دیواره باید برای بیان مشخصات این جریان در نظر گرفته شود:
(۳۹-۴)
در رابطه بالا، فاصله تا نزدیک ترین دیواره و واحد معمول دور از دیواره است. براساس تحقیق کریپر و همکاران (۲۰۰۵)، =-۰/۰۰۶۴ و =۰/۱۶ ارائه شده است. علاوه بر این، برای جلوگیری از ادغام نیروهای جاذبه، برای بزرگ، این نیرو برابر صفر در نظر گرفته می شود.