(۱-۴)
در سال ۱۹۶۲ جانسون^[۵] و هامادا^[۶] یک جمله درجه دوم از تکانه، به پتانسیل هسته‌ای اضافه کردند. به این ترتیب پتانسیل هسته‌ای به صورت زیر نمایش داده شد[۱۰]:
(۱-۵)
(۱-۶)
که در آن سال، یال^[۷] نیز یک پتانسیل هسته‌ای به شکل زیر پیشنهاد کرد[۱۱]:
(۱-۷)
در سال ۱۹۶۸، راید^[۸] پتانسیلی را پیشنهاد کرد که برای کانال‌های جفت نشده، با اسپین یگانه با شامل یک جمله مرکزی و برای کانال‌های جفت شده با اسپین سه گانه به شکل معادله زیر است[۱۲]:

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

(۱-۸)
سپس در سال ۱۹۷۴ پتانسیل با بهره گرفتن از پتانسیل‌های راید، بته و جانسون با ۶ عملگر مستقل از بار به صورت زیر به دست آمد[۱۳]:
(۱-۹)
این عملگرها وابستگی پتانسیل به اسپین، ایزواسپین و تانسور را نشان می‌دهند.
پتانسیل علاوه بر عملگرهای بالا شامل دو عملگر مستقل از بار نیز است[۱۴]:
(۱-۱۰)
عملگرهای معادله بالا را معمولا به ترتیب با علامت‍‌های اختصاری نشان می‌دهند. هیچ جمله اسپین- مدار درجه دومی در بین عملگرهای این دو پتانسیل یافت نمی‌شود. نتایج به دست آمده از این دو مدل، نتایج حاصل از مد‌ل‌های پیشین را بهبود بخشیدند.
در سال ۱۹۸۰ گروه پاریس^[۹]، چهار جمله وابسته به توان دوم تکانه زاویه‌ای به پتانسیل اضافه کردند و با اضافه کردن این چهار جمله، نتایج بهتری به دست آوردند. این پتانسیل به پتانسیل معروف است. چهار جمله اضافه شده عبارتند از[۱۵]:
(۱-۱۱)
پتانسیل در سال ۱۹۸۱ توسط پندهریپند^[۱۰] و لاگاریس^[۱۱] پیشنهاد شد. این پتانسیل علاوه بر جمله‌های بالا شامل دو جمله متناسب با توان دوم اسپین- مدار به صورت زیر است[۱۶]:
(۱-۱۲)
پتانسیل شامل برهم‌کنش بلند برد تبادل یک پایونی ، برهم‌کنش با برد متوسط جاذبه که نسبت به برهم کنش تبادل یک پایونی در مرتبه دوم قرار دارد و همچنین برهم‌کنش کوتاه برد با تبادل مزون‌های می‌باشد. شش عملگر بالا که از درجه دوم هستند، عملگرهای بسیار ضعیف‌اند که از آنها برای محاسبه انرژی سیستم‌های بس ذره‌ای استفاده می شود.
در سال ۱۹۹۴ استوکس^[۱۲] و اسچیولا^[۱۳] چهار عملگر وابسته به بار که استقلال بار نیروی هسته‌ای را می‌شکنند به پتانسیل اضافه کردند[۱۷]. این چهار عملگر به صورت زیر نوشته می‌شوند:
(۱-۱۳)
(۱-۱۴)
این پتانسیل به پتانسیل معروف شد. قسمت مستقل از بار این مدل از چهارده عملگر تشکیل شده که همان پتانسیل است. به این پتانسیل سه عملگر وابسته به بار که موجب شکست استقلال از بار شد و یک عملگر مستقل از بار همراه یک پتانسیل الکترومغناطیسی کامل که شامل جمله‌های قطبش خلا، تقریب کولن و داروین فلودی است، اضافه می‌شود. اضافه کردن این جمله‌ها سبب می شود تا نتایج بسیار مفید‌تری در بررسی ماده هسته‌ای به دست آید. تمام پتانسیل‌های حقیقی دو نوکلئونی در تعیین ویژگی‌های ماده‌ی هسته‌ای، ماده‌ی پایدار در واپاشی بتا، مرکز هسته‌های سنگین و ستاره‌های نوترونی نتایج رضایت بخشی داشته‌اند.
۱-۲-۲- پتانسیل‌های دونوکلئونی پدیده‌شناختی
پتانسیل‌های پدیده‌شناختی در تعیین بسیاری از خواص اندازه‌گیری شده‌ی برهم‌کنش نوکلئون-نوکلئون موفقیت قابل قبولی داشته‌اند. البته با افزایش تعداد جملات دخیل در برهم‌کنش، قدرت و دقت پیش‌بینی این پتانسیل‌ها نیز افزایش خواهد یافت. از طرفی هر جمله‌ی جدیدی که به پتانسیل اضافه می‌شود ممکن است نتیجه‌ی محاسبات را بهبود بخشد، ولی با این کار شکل پتانسیل سادگی‌اش را از دست می‌دهد. در این بخش به معرفی تعدادی از پتانسیل‌های پدیده شناختی می‌پردازیم.
الف- پتانسیل یوکاوا
یوکاوا^[۱۴] فیزیکدان ژاپنی در سال ۱۹۳۵، یک پتانسیل ریاضی را به منظور نمایش برهم‌کنش نوکلئون-نوکلئون پیشنهاد کرد. در آن زمان، وجود یک نیروی تبادل را به عنوان پایه‌ی برهم‌کنش هسته‌ای تشخیص داده بودند. یوکاوا تلاش کرد تا پتانسیلی را بیابد که تبادل ذراتی را که منجر به نیروی هسته‌ای می‌شوند، توصیف کند. برای به دست آوردن پتانسیل یوکاوا به محاسبه‌ی میدان مزونی نیروی هسته‌ای با بهره گرفتن از رابطه جرم-انرژی پایونها می‌پردازیم. رابطه جرم-انرژی به صورت زیر است:
(۱-۱۵)
و با توجه به روابط در مکانیک کوانتومی رابطه‌ی زیر به دست می آید:
(۱-۱۶)
با کنار گذاشتن و استفاده از رابطه خواهیم داشت:
(۱-۱۷)
و از انجا که فقط تابعی از است، با انتخاب عبارت زیر به دست می‌آید:
(۱-۱۸)
که پس از حل به جواب زیر می‌رسیم:
(۱-۱۹)
با توجه به این شرط فیزیکی که اگر ، باید معین بماند داریم: . بنابراین پتانسیل تبادل مزونی برابر است با:
(۱-۲۰)
که ثابت در نظریه مزونی شبیه ثابت در نظریه الکترومغناطیس است. بنابراین همان‌گونه که انرژی پتانسیل در نظریه الکترومغناطیس است، در نظریه مزونی انرژی پتانسیل برابر با است که سرانجام انرژی پتانسیل برهم‌کنش دو نوکلئون که فقط وابسته به است به صورت زیر به دست می‌آید:
(۱-۲۱)
نمودار این پتانسیل در نمودار (۱-۱) نشان داده شده است[۱۸].

شکل(۱-۱):نمودار پتانسیل یوکاوا
ب- پتانسیل اسکرم
پتانسیل اسکرم توسط تونی رویل اسکرم^[۱۵] در دو مقاله در سال‌های[۱۹]۱۹۵۶، [۲۰]۱۹۵۹ معرفی گردید. کاربرد گسترده و احیای پتانسیل اسکرم توسط واترین^[۱۶] و برینک^[۱۷] در دو مقاله در سال‌های [۲۱]۱۹۷۰ و[۲۲] ۱۹۷۲مطرح شد. شکل اصلی پتانسیل اسکرم را می‌توان به صورت زیر ارائه کرد:
(۱-۲۲)
که مؤلفه دو جسمی و مؤلفه سه جسمی پتانسیل است. مولفه دو جسمی پتانسیل اسکرم به صورت زیر معرفی گردید.
(۱-۲۳)
به ‌طوری که عملگر تبادل اسپینی، اسپین ذره‌ها و تابع دلتای دیراک است که تابعی از فاصله‌ی نسبی دو ذره است. ضرایب ثابت معرف متوسط مؤلفه مرکزی پتانسیل، معرف یک پتانسیل اسپین-مدار دو جسمی کوتاه برد است. ضرایب ثابت نماینده ویژگی تبادل اسپین هستند و عملگرهای به ترتیب از سمت چپ و راست روی تابع موج سیستم عمل می‌کنند. مؤلفه سه جسمی برهم کنش اسکرم نیز عبارت است از:
(۱-۲۴)
سادگی این پتانسیل در این حقیقت نهفته است که وابستگی فضایی آن با تابع داده می‌شود. برای حل ساده‌تر معادله، مؤلفه‌ی سه جسمی اسکرم را با یک پتانسیل دو جسمی وابسته به چگالی به صورت زیر تقریب می‌زنیم:
(۱-۲۵)
که در آن میانگین چگالی هسته‌ای در نقطه‌ی برهم‌کنش است. این جمله، نماینده اثرات چند جسمی است و برهم‌کنش بین نوکلئون‌ها را که متاثر از حضور دیگر نوکلئون‌هاست، توصیف می کند. برهم کنش اسکرم را می‌توان به عنوان یک پتانسیل پدیده‌شناختی در نظر گرفت که شامل برهم‌کنش کوتاه برد وابسته به چگالی و اثرات چند جسمی است. پتانسیل اسکرم وابسته به چگالی در اختر‌ فیزیک و نیز در تشریح خصوصیات هسته‌ها کاربرد گسترده‌ای دارد[۲۳].
پتانسیل برهم‌کنش اسکرم که در فوق معرفی گردید، منجر به ناپایداری در معادله‌ی حالت ماده نوترونی کاملا قطبیده می‌شود. کوتسچرا^[۱۸] و جسیک^[۱۹] نشان دادند که در صورتی این ناپایداری برطرف می شود که مخالف صفر باشند. به این ترتیب پتانسیل اسکرم اصلاح شده به صورت زیر داده می‌شود: