که به ترتیب:

با توجه به تعریف, r Ψ داریم:

چونg دلخواه است، (۲-۲) به دست می‌آید.
VΙ) حال ثابت می‌کنیم که (۲-۲) و (۲-۴) به ازای هر h برقرار است به طوری که در بیضی باز و واحد دیکن قرار می گیرد و برای تکمیل اثبات ، نشان می‌دهیم که دومین “و” اضافه است: هر‌گاه بیضی واحد و باز دیکن متعلق باشد. برای اثبات عبارت دوم، فرض کنید (به برهان خلف) در Q قرار نمی‌گیرد آن‌گاه نقطه مانند Y در وجود دارد به طوری که شعاع متعلق به Q است و .

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

تابع F روی این شعاع خوش تعریف است. علاوه بر این، هر نقطه از این شعاع در رابطه(۲-۴) صدق می‌کند. وقتی روی این شعاع حرکت می‌کند، کمیت‌های از بالا توسط کراندار می‌شود و کمتر از یک و دور از مرز یک می‌باشند. رابطه (۲-۴) نشان می‌دهد که Fروی این نیم خط کراندار است و این تناقض است، زیرا y یک نقطه مرزی Q است و باید F به سمت واگرا شود وقتی که نقطه‌ای از به سمت y می‌رود.
برای اثبات (۲-۳)، بردار دلخواه z را در نظر می‌گیرم و قرار می‌دهیم:

چون بیضی واحد و بازدیکن درون Q قرار دارد، تابع g روی پاره خط خوش تعریف است و

با بهره گرفتن از نامساوی کوشی

با بهره گرفتن از (۲-۲)

(چون )

بنابراین

همان طور که در (۲-۳) ادعا شده است. □
۳) زیرفضای بازگشتی^[۲۰] تابع خود هماهنگ: برای زیر فضای را در نظر می‌گیریم، هسته ماتریس هسین F در x است. زیر فضای بازگشتیF (یعنی) مستقل از انتخاب x است و داریم:

هسین F در همه جا نامنفرد است اگر و تنها اگر نقطه ی وجود داشته باشد که هسینF آن نامنفرد باشد؛ در این مورد برای اطمینان،Q کراندار است.
نکته: تابع F را ناتباهیده نامیم، اگر یا اگر هسین F در همه ی نقاط Q نامنفرد باشد.
برهان ۳) اثبات اینکه هسته هسین Fمستقل از نقطه مستقل است ، معادل اثبات عبارت زیر است:
اگر آن گاه برای .
برای نشان دادن این موضوع، را در نظر می‌گیریم و تابع زیر

روی پاره خط به طور پیوسته مشتق پذیر است، با توجه به اثبات قبلی در بند ΙΙΙ ، داریم:

با پیوستگی روی .بنابراین:

با ثابت M، که و (با توجه به مشتق تابع )
چون داریم پس و در نتیجه حکم ثابت شد.
بنابراین هسته F از نقطه ی که هسین گرفته شده است مستقل است.
اگر و آن‌گاه پس از (۲) داریم پس بنابراین به ازای هر . □
اکنون یک مفهوم بسیار مهم. کاهش نیوتن تابع خود هماهنگ در یک نقطه را معرفی می‌کنیم.
فرض کنیم باشد، کاهش نیوتن^[۲۱] F در x به صورت زیر تعریف می‌شود :

به عبارت دیگر، کاهش نیوتن، مزدوج نرم از مشتق مرتبه اول F درx است. توجه کنید که لزوما یک نرم نیست ، ممکن است که نیم نرم باشد یعنی، ممکن است بردارهای غیرصفر، صفر باشند؛ این اتفاق می‌افتد اگر و تنها اگر زیر فضای بازگشتی نابدیهی باشد یا به عبارت دیگر بیضی دیکن Fحقیقی نباشد در این صورت، حداکثر در تعریف، ممکن است کاهش نیوتن (نه لزوما) شود .
۴) پیوستگی کاهش نیوتن: کاهش نیوتن F در متناهی است اگر و تنها اگر به ازای هر داشته باشیم . اگر برای خاصی برقرار باشد آن‌گاه به ازای هر برقرار است و در این صورت کاهش نیوتن در پیوسته است و F در امتداد زیر فضای بازگشتی ثابت است:
(۲-۸)
و در غیر این صورت کاهش نیوتن است.
برهان:]۴[
مشاهدات زیر منشا کاهش نیوتن و رابطه‌اش با روش نیوتن را روشن می‌سازد.
۵-الف)کاهش نیوتن و تکرار نیوتن: فرض کنید داده شده است، بسط مرتبه دوم نیوتن F در x را در نظر بگیرید، یعنی:

این عبارت از پایین کراندار است اگر و تنها اگر به مینیمم مقدارش رویE برسد و اگر و تنها اگر ؛ آن‌گاه به ازای هر جهت نیوتنF (یعنیe) درx برقرار است، یعنی در هر شکلی از مینیمم سازی‌اش داریم:
(۲-۱۰)
(۲-۱۱ )
(۲-۱۲)
برهان: شکل مرتبه دوم و محدب زیر را در نظر بگیرید

از پایین کراندار است اگر و تنها اگر به مینیمم مقدارش برسد اگر و تنها اگر کمیت متناهی باشد، اگر این روابط برقرار باشد آن‌گاه مینمم مقدارش از شکل فوق دقیق است (مانندy ) به طوری که ؛ و برای هر مینیمم مقدار y داریم: